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\newtheorem{definition}{Definition}[section]%定义
\newtheorem{theorem}{Theorem}[section]%定理
\newtheorem{axiom}{Axiom}[section]%公理
\newtheorem{lemma}{Lemma}[section]%引理
\newtheorem{proposition}{Proposition}[section]%命题
\newtheorem{corollary}{Corollary}[section]%推论
\newtheorem{remark}{Remark}[section]%注


\title{\heiti\zihao{2} 习题1.2}
\author{20373963-樊若宸}
\date{\today}

\begin{document}
\maketitle
\section{设袋中有10个相同的球, 上面依次编号为1,2,$\cdots$,10,每次从袋中任取一球, 取后不放回, 求: 第5次取到1号球的概率}

\textbf{解1$^{\circ}$:}\quad 令样本空间为
$$
\Omega = \{\text{取10球所有可能的顺序}\}
$$

显然概率模型为古典概型, 所以因为card$\Omega=A_{10}^{10}$, 记$A$为事件:第5次取到1号球. 则card$A=A_{9}^{9}$.所以有
$$
P(A) = \dfrac{\mathrm{card}A}{\mathrm{card}\Omega}=\dfrac{A_{9}^{9}}{A_{10}^{10}}=\dfrac{9!}{10!}=\dfrac{1}{10}
$$

\textbf{解2$^{\circ}$:}\quad

令样本空间为
$$
\Omega = \{\text{取前5球所有可能的顺序}\}
$$

显然概率模型也为古典概型,且card$\Omega = A_{10}^{5}$,card$A=A_{9}^{4}$,从而
$$
P(A) = \dfrac{\mathrm{card}A}{\mathrm{card}\Omega}=\dfrac{A_{9}^{4}}{A_{10}^{5}}=\dfrac{1}{10}
$$

\section{10个考签中有4支难签, 3人参加抽签考试, 不重复地抽取考签, 每人一次, 甲乙丙按顺序取. 证明: 三人抽到难签的概率相等.}

\begin{proof}
    可将这些签编号为$1\sim 10$.其中前4个是难签.令样本空间为
$$
\Omega = \{\text{所有抽签可能}\}
$$

令$A,B,C$为事件:甲乙丙抽到难签.则显然本概率模型为古典概型,并且有card$\Omega=A_{10}^{3}$,$\mathrm{card}A=\mathrm{card}B=\mathrm{card}C=4\cdot 9 \cdot 8$,所以
$$
P(A)=P(B)=P(C)=\dfrac{\mathrm{card}A}{\mathrm{card}\Omega}
$$
\end{proof} 

\section{设有r个人, r<365, 并设每人的生日再一年365填中的每一天的可能是均等的, 问:此r个人生日互不相同的概率是多少?}
\textbf{解:}\quad 
不妨设样本空间
$$
\Omega = \{\text{所有可能的生日情况}\}
$$

则显然本概率模型为古典概型, 并有$\mathrm{card}\Omega = 365^{r}$.设事件$A$为此r个人生日互不相同,则$\mathrm{card}A=A_{365}^{r}$.所以:
$$
P(A) = \dfrac{\mathrm{card}A}{\mathrm{card}\Omega}=\dfrac{A_{365}^{r}}{356^{r}}
$$

\section{有n个人排队, 求:(1)排成一行,其中甲、乙两人相邻的概率;(2)排成一圈, 甲、乙两人相邻的概率}

(1)\textbf{解:}\quad 

设样本空间
$$
\Omega = \{\text{所有可能的排列方法}\}
$$

事件$A$为:甲、乙两人相邻.所以显然本本概率模型为古典概型,并有$\mathrm{card}\Omega = A_{n}^{n}$,先将甲乙视为一人排列$n-1$个人,再排列甲乙的顺序:$\mathrm{card}A=A_{n-1}^{n-1}\cdot A_{2}^2$.所以
$$
P(A)=\dfrac{\mathrm{card}A}{\mathrm{card}\Omega}=\dfrac{(n-1)!\cdot 2}{n!}=\dfrac{2}{n}
$$

(2)\textbf{解:}\quad 
设样本空间
$$
\Omega = \{\text{所有可能的排列方法}\}
$$

事件$A$为:甲、乙两人相邻.所以显然本本概率模型为古典概型.由于排成一圈, 具有循环性质, 所以$\mathrm{card}\Omega = \dfrac{A_{n}^{n}}{n}=(n-1)!$.将甲乙视为一体, 排列$n-1$个人成一圈再排列甲乙内部顺序:$\mathrm{card}A=\dfrac{A_{n-1}^{n-1}}{n-1}\cdot A_{2}^{2}=2(n-2)!$.所以
$$
P(A)=\dfrac{\mathrm{card}A}{\mathrm{card}\Omega}=\dfrac{2(n-2)!}{(n-1)!}=\dfrac{2}{n-1}
$$

\section{在区间(0,1)内任取两个实数,求:它们乘积不大于$\dfrac{1}{4}$的概率}
\textbf{解:}\quad 
本题应为几何概型. 设事件$A$:在区间(0,1)内任取两个实数,它们的乘积不大于$\dfrac{1}{4}$. 我们假定在$(0,1)$任意位置的数被取到的概率是相等的,即概率的分布是在$(0,1)$上线性的.则样本空间为$\Omega:\{(x,y)|0<x,y<1\}$.而$A:\{(x,y)|x\cdot y \leqslant \dfrac{1}{4}\}$.显然$S(\Omega)=1\cdot 1=1$,而又有:
$$
S(A)=\iint_{A} 1\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\int_{0}^{1/4}1\mathrm{d}x+\int_{1/4}^{1}\dfrac{1}{4x}\mathrm{d}x=\dfrac{1}{4}+\dfrac{\ln 4}{4}
$$

故
$$
P(A)=\dfrac{\mu(A)}{\mu(\Omega)}=\dfrac{1+\ln 4}{4}
$$
\end{document}